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hyperbolederivations
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Paradoxe d'Achille et de la tortue
Paradoxe d'Achille et de la tortue
Posté le 09.11.2006 par hyperbolederivationsTraduisons-le de façon physique et mathématiques...
Soit a la vitesse d'Achille et b la vitesse de la tortue (les deux vont à vitesse constante)
Soit c, l'avance qu'achille accorde à la tortue.
Da = at
Db = bt + c
Où t = 0 correspond au moment où Achille se met à courir...
Alors, Achille ne pourra jamais rattraper la tortue? Posons Da = Db, l'hypothétique distance où ils seront côte à côte.
at = bt + c d'où:
t = c/(a-b)
Alors tant qu'Achille a une vitesse plus grande que la tortue, il pourra la rattraper...
En fait, le problème avait été mal vu... Allons y de la même façon qu'originalement... Si achille va à disons, 20 m/s et la tortue à 10 m/s. Achille laisse disons 2 secondes d'avance à la tortue. Elle est donc à 20 m. Au bout d'une troisième seconde, Achille est à 20 m et la tortue est à 30 m. Une demi-secondes plus tard, Achille est à 30 m et la tortue à 35 m. Et une seconde plus tard... Achille se trouve à 50 m et la tortue elle est à 45 m!
Bien sûr, en augmentant le temps progressivement de façon à ce qu'Achille parcourt exactement la distance le séparant à la tortue à un moment précédent, nous n'arriverons jamais au bout... Simplement parce que le temps où les deux se trouvent à la même hauteur est de c/(a-b) où c = 20, a = 20 et b = 10... Il faudrait donc arriver à deux en faisant la somme des intervals de temps 1/2^(i-1) où i va de 1 à... n Mais pour obtenir 2, il faut que n tend vers l'infini...
Il s'agit d'une série géométrique. Et pour trouver la convergence d'une série géométrique, il suffit de trouver la raison r de la série (rapport entre deux termes dans le fond) et le premier terme (habituellement a, mais comme cette variable a déjà été définie plus haut, nous utiliserons p). Le premier terme est 1, la raison est 0.5. Or, selon le théorème de convergence d'une série géométrique, celle-ci converge si r est, en valeur absolue, plus petit que 1 et elle converge vers p/(1 - r) ce qui nous donne effectivement 2 avec les données numériques prédéfinies plus haut.
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